数学学習の記録 435 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問8

2011年2月1日火曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問8を解いてみる。

問8

$2^{10}=1024\equiv 24,\ (mod\ 100)$

$2^{20}=24^{2}\equiv -24\ (mod\ 100)$

$2^{30}\equiv -24^{2}\equiv 24\ (mod\ 100)$

...

$2^{100}\equiv-24\ (mod\ 100)$

よってそれぞれ、100で割ったときの余り(すなわち、整数を十進法で書いたときの下2桁の数)は

2の10乗は24, 2の20乗は76, 2の100乗は76

同様に、

$2^{100}-1\equiv-25\ (mod\ 100)$

$(2^{100}-1)^{99}\equiv-25\ (mod\ 100)$

$(2^{100}-1)^{100}\equiv 25\ (mod\ 100)$

となるのでそれぞれ求める値は、75, 75, 25となる。